Az egyik ókori matematikus megtöltött egy kannát vízzel, majd megütötte azt egy kalapáccsal, hogy hangot adjon. Ha kiöntötte a fele vizet, majd ismét megütötte a kannát, akkor egy oktávval magasabb hangot adott. S valahányszor megint kiöntött belőle valamennyit, és már csak a kanna harmadáig, később a negyedéig maradt benne víz, akkor a kapott hangok harmóniában maradtak az elsőre megszólaló zenei hanggal. Ha nem pont ennyi vizet öntött ki a kannából, akkor mindig az eredetivel disszonáns hangot kapott. Hallható szépség kapcsolódott tehát ezekhez a törtekhez. Az 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... számok harmóniáját tapasztalva úgy vélte, hogy a zene irányítja az egész világegyetemet.

1. Ki volt ez a matematikus, és hogy nevezte ezt a zenét?

Felfedezte, hogy a húros hangszereknél is ez a szabályosság igaz, a húrt felénél lefogva egy oktávval magasabb hangot hallunk, harmadánál pedig az alaphang kvintjét kapjuk meg. Azaz a 2 és 3 prímekkel így előállíthatta a ma is használt 7 fokú skálából álló oktávot (C, D, E, F, G , A, H, C’).
A harmóniát követve az alaphang (C) kvintje lett a G (3/2-es húr-arány). Aztán így haladt tovább, ha túllépett közben az oktávon, akkor felezte azt, és egy oktávval így lejjebb visszaugrott.
G-nek a kvintje lett a D (3/2 * 3/2 és mivel már kilépett az oktávból, ezért osztotta 2-vel, azaz 9/8 a húrarány), ... és így tovább. Jött az A (27/16), E (81/64) és a H (243/128). A hiányzó F pedig abból adódott, hogy ez az oktáv és a kvint aránya (2/1 / 3/2 = 4/3). Készen állt a matematikai alapú, két prímre épülő skála.

Ezeket az arányokat több matematikus is csiszolgatta tovább, végül egy híres matematikus páros, talán mert a hangszerek addigra finomabb hangolásúak lettek, és talán a jobb zenei érzékük miatt, a ma is használatosra definiálta az európai zenére jellemző arányokat. Elterjedtek a temperált, azaz a fixre hangolt hangszerek (billentyűsök, gundos, fúvósok is, ... ), fontos lett a hangközök szabványosítása. A prímek száma gyarapodott eggyel, ők még az 5-ös prímet is felhasználták. Ezáltal az arányok kisebb számokat tartalmaztak, jobban kezelhetők lettek.
Sőt, a félhangokat is ezzel a három prímmel hangolták be, a kvintkör (C-G-D-A-E-H-Gesz-Desz-Asz-Esz-B-F-C) alapján.

Az ő skálájuk a következő:
C (1/1), D (9/8), E (5/4), F (4/3), G (3/2), A (5/3), H (15/8), C’ (2/1)

2. Ki volt ez a két matematikus?

Játsszunk ezen aránypárok segítségével!
„Hangoljunk” be néhány, a bevezetőben említett vízzel teli egyforma ókori kannát, hogy azokat ütögetve a Csíp, csíp csóka című dalt el tudjuk játszani!

3. Hány kannára van szükség?
4. Maximum hány kanna vizet lehet kiönteni a kannákból, ha az egyik 2/3-nyira lesz hangolva? (Milyen hang legyen ebben az esetben a kezdőhang, hogy minél jobban csökkenthessük a kannákban maradó vízmennyiséget? Ezt levezetéssel kérjük.)