Elmúlt egy év. Hova tűnt a szép kerek 2016, az ó-esztendő?

Az Új év beköszöntével Ödönke kedvenc hobbiját, a számrendszerekkel való játszadozást már a friss primőr 2017-es számmal műveli. A számrendszerek megismerése Ödönkének olyan ámulatos élmény volt, mint az Új (majdani Csendes)-óceán megpillantása lehetett Balboának.

Etelkával azt a játékot eszelik ki, hogy Ödönke választ egy kedve szerinti számrendszert és egy n hatványkitevőt. 2017-et átírja a saját számrendszerébe, n-edik hatványra emeli, és összeadja a kapott szám jegyeit. Ezt az ÖÖ (nevezzük Ödön-Összegnek) számot közli Etelkával. Útközben minden számolást az új számrendszerben végez, az ÖÖ összeget is így közli.

Etelkának a kitevő ismeretében ki kell találnia a számrendszert. Mivel Ödönke a tízen túli rendszerekben még bizonytalanul mozog, a hatványkitevő és a számrendszer sem lehet magasabb mint 10.

Szemléltető példának: ha 2017 helyett beérnénk 17-tel, és a második hatványt keresnénk, akkor például a 11-es számrendszert választva: 17 értéke a 11-es számrendszerben 16, amelynek négyzete a 11-esben 243 (10-esben pedig 289), a jegyek összege, vagyis az ÖÖ = 2+4+3=9.

Az első játékban Etelka javaslatára negyedik hatvánnyal kezdenek. Ödönke szorgosan számol, majd diadalmasan jelenti, hogy végeredménye ÖÖ=53. Kajánul várja, hogy Etelka is szenvedjen a számolással, ám Etelka csak mosolyog és pillanatok alatt megadja a helyes választ.

Etelka gyors válasza olyannyira felpaprikázza Ödönket, hogy a következő menetben a hatványkitevőt sem árulja el (de tartja magát a legfeljebb 10 határhoz) csak lakonikusan közli: "ÖÖ=222, na erre mit mondasz?"

És láss csodát, ismét fél percen belül jön a helyes válasz. "Kis szerencsém is volt, de ha kell, megmondom a kitevőd is" - teszi hozzá Etelka tárgyilagosan, 1-2 perccel később.

(A) Milyen számrendszerben számolt Ödönke, ha az új számrendszerben felírt (tízes) 2017 negyedik hatványában a számjegyek összege ÖÖ=53? (10 pont)

(B) Milyen számrendszerben számolva kaphatott Ödönke ÖÖ=222 végösszeget? (+3 pont)

Tudjuk, hogy a hatványkitevő és a számrendszer is 2-10 közötti egész szám, és Ödönke nem tévedett a számolásban. Nem verítekes utánaszámolást várunk, hisz Etelka is ránézésre kitalálta. Elegendő a helyes választ kizárásos alapon megtalálni. Természetesen indokolni is kell, hogy más miért nem lehet.